数理解析研究所 第41回数学入門公開講座

演題及び講師

１．関数不等式とエネルギー集約（各日10時30分～11時45分）
中西 賢次 教授

偏微分方程式は、物理法則などを空間や時間を変数とする関数とその微分を使って表したものですが、多くの方程式は等式変形で具体的に解くことはできず、その代わりに関数に対する不等式が数学的な解析の中心的役割を果たします。また、不等式が成り立つか成り立たないかギリギリの所を調べることで、対応する関数や方程式の解の性質が大きく変化する境目が見えてきますが、その臨界的状況ではしばしば、物理的にはエネルギーの集約と見なせる現象が現れます。この講義では、様々な関数不等式の導出とその臨界現象および方程式への応用について、簡単なものから最近の研究まで幾つかの話題を選んでお話ししたいと思います。

２．組合せ最適化における双対性（各日13時00分～14時15分）
小林 佑輔 准教授

最適化問題とは、与えられた制約の下で何らかの目的関数を最大化もしくは最小化する問題のことをいいます。その中でも特に、扱う対象がグラフやネットワーク、マトロイドのような組合せ的な構造を持つ場合には組合せ最適化問題と呼ばれ、理論・応用の両面から盛んに研究されています。いくつかの組合せ最適化問題を解く（効率的なアルゴリズムを与える）際には、ある問題の最大値と全く別の問題の最小値が一致するという形の最大最小定理が重要な役割を果たします。このような一見無関係に見える二つの問題の関係は双対性と呼ばれ、アルゴリズムの設計に有用なだけではなく、理論的にも興味深いものとなっています。本講義では、組合せ最適化の中でも、特にグラフ上の最適化問題に注目し、そこに現れる双対性について紹介します。

３．流体力学 ―― まだこんなことが分からない（各日14時45分～16時00分）
山田 道夫 教授

流体力学は古典力学の一分野として、18世紀のEulerの時代以来、今日まで300年近い長い歴史を持っています。また、それが対象とするものは、私たちに身近な水や空気であるため、隅々まで分かっているように思われるかもしれませんが、実は基本法則にも、あるいはそれが記述する流体の運動にも、理解を拒み続けている問題が潜んでいます。ここではそのような問題のいくつかを題材にして、古くて新しい流体力学を紹介したいと思います。